区块链中的数学 -- Accumulator(累加器)

blocksight 2021-04-13 19:48:07 阅读数:890

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区块 数学 累加 累加器 accumulator

写在前面

上一篇介绍了merkle承诺原理, 最近几篇的主题围绕密码学承诺,可以来一个总结了。有一个比喻说的很好,承诺就像把一封信放在保险箱内上锁并发给接收方,由于保险箱在接收方,发送方已无法修改信的内容,同时保险箱钥匙在发送方手中,信件的内容不会被接收方看到,起到隐藏的作用!

本文介绍一种与密码学承诺紧密关联的技术 --- Accumulator(累加器),近两年在区块链无状态领域提到较多!

Accumulator(累加器)

在密码学中,累加器是单向成员散列函数。它允许用户证明潜在的元素是某个集合的成员,而不必透露集合中的单个成员。这一概念于1993年由J.Benaloh和M.de Mare正式提出,根据这个定义,Merkle tree也可以当作简单Accumulator的一种。后续也有对累加器含义做了一些扩展,感兴趣可自行查阅!

累加器分为动态和静态两种类型:

动态累加器:当有元素加入或者移除时,承诺和对应的证明可以进行有效更新,是指更新的代价应与已累加的元素数量无关静态累加器:当有元素加入或者移除时,承诺和对应的成员证明需总体重新生成,且无法进行有效更新。

一般通用累加器都是动态累加器,同时支持集合内成员证明和非成员证明两部分。我们以常用的RSA累加器为例进行说明。

RSA accumulator

为什么叫做RSA累加器呢?因为实现过程与RSA算法相近,安全假设也一样。

Accumulator 创建:

  1. setup: 选择一个质数g作为基底,再秘密选择两个大质数相乘得到 N = p * q
  2. 加入元素:集合添加元素a,计算$root =g^a\ mod\ N$
  3. 删除元素:集合添加元素a,计算$root = root /g^a\ mod\ N$

举例说明:只有一个元素a的时候,$root =g^a\ mod\ N$再次加入新元素$a_2,a_3$时,更新$root =root^{a_2a_3}\ mod\ N=g^{a_2a_3*a}\ mod\ N$

Accumulator成员证明:

假设要证明$a_2$确实在这个Accumulator之中,我们需要提供证明:$w = root /a_2 =g^{a*a_3}\ mod\ N$

很简单就是除掉$a_2$部分

Accumulator 验证:验证者得到root, w和要验证的元素$a_2$,计算$root' =w^{a_2}\ mod\ N =?= root$

如果相等就证明$a_2$确实在累加器中。

可以看到,不管当前Accumulator已经存放的多少元素,都可以通过在只知道Accumulator当前root值的情况下,以O(1)的复杂度加入元新的元素。所以说属于动态累加器。

聚合证明(Aggregating Proofs):还有一种情况能否同时验证多个元素属于该累加器集合?是可以的。思路是把多个想要验证的值,合并在一起产生一个witness(即上文中的w)。

接着上例,我们可以一次验证$a_2,a_3$, 都包含在Accumulator中。具体先计算 $w =g^{a_2a_3}$验证:$root' =w^a\ mod\ N =?= root$

我们把能同时整合多个witness为一的特性称为累加性 (Aggregating),而有效率的同时验证多个witness则称为批次性 (Batching),在Kate承诺批处理中,有过类似的处理。

小结

本文描述了累加器的概念和性质,具体说明RSA累加器实现过程。可以看出Accumulator具有一些比merkle证明有优势的地方,比如聚合证明,证明大小不随着集合元素的增加而增加等。实际应用实现中RSA累加器还会有一些前置处理操作,比如将原始数据映射到选定素数域上的值等。

好了,关于RSA累加器,下一篇继续介绍非成员证明和在区块链中应用部分。

本文参考:https://www.cs.purdue.edu/homes/ninghui/papers/accumulator_acns07.pdf


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